1. 系统、状态、输入和输出
控制理论首先要区分系统内部怎样演化、我们能操纵什么、我们能测到什么。状态 x 是这样一组最小变量：给定当前 x 和未来输入，就足以确定未来系统演化；输入 u 是控制器可以直接改变的量；输出 y 是传感器或任务真正暴露出来的量。三者不一定相同，因此控制器经常需要控制“无法直接测量”的状态。
关键要点
- 状态不等于传感器读数；即使某状态测不到，也可能是预测动态不可缺少的内部变量。
- 模型可以是连续/离散、线性/非线性、确定性/随机性。
- 反馈意味着控制动作依赖当前测量或估计状态，因此能够在线纠正扰动和模型误差。
2. 连续与离散状态空间模型
线性时不变（LTI）连续系统写成 ẋ=Ax+Bu, y=Cx+Du。A 描述内部状态之间如何相互作用，B 描述输入如何进入状态，C 描述输出测量哪些状态组合，D 表示输入是否直接影响输出。离散系统则为 x_{k+1}=Ax_k+Bu_k, y_k=Cx_k+Du_k。数字控制器最终通常工作在离散模型上。
关键要点
- 当 u=0 时，A 的特征值决定系统自然模态。
- 不同状态空间坐标可以表示同一个输入输出传递函数。
- 通过可逆坐标变换可以改变状态表示，但不会改变系统的物理输入输出行为。
3. 平衡点与线性化
真实系统往往是非线性的 ẋ=f(x,u)。平衡点 (x*,u*) 满足 f(x*,u*)=0，也就是在该输入下状态保持不变。对平衡点附近的小偏差 δx=x−x*、δu=u−u* 做一阶 Taylor 展开，可得到线性近似，A 与 B 就是对应 Jacobian。之后使用线性控制理论分析的是“工作点附近的局部行为”。
关键要点
- 线性化是局部近似，状态偏离工作点过大时模型可能失效。
- 轨迹跟踪中可沿参考轨迹不断线性化，得到线性时变模型。
- 讨论非线性系统局部稳定性之前，必须明确是围绕哪个平衡点。
4. 自然响应、特征值与系统模态
对于无输入线性系统 ẋ=Ax，解为 x(t)=e^{At}x(0)。A 的特征值决定每个系统模态是增长、衰减还是振荡。连续时间中，e^{λt} 在 Re(λ)<0 时衰减；离散时间中，λ^k 在 |λ|<1 时衰减。复共轭特征值对应振荡模态，其实部或模长决定衰减速度。
关键要点
- 特征向量描述模态方向，特征值描述该模态随时间如何变化。
- 连续系统中，实部更负的极点衰减更快；靠近虚轴的极点衰减慢。
- 即使所有特征值稳定，高度 non-normal 的系统仍可能出现显著瞬态放大。
5. 稳定性与 Lyapunov 分析
稳定性研究的是：系统从平衡点附近出发后会怎样。Lyapunov 稳定要求轨迹一直留在附近；渐近稳定还要求最终收敛到平衡点。Lyapunov 函数 V(x) 可以理解为广义“能量”：若 V 在平衡点外为正，并且沿系统轨迹持续下降，则可以证明稳定。对 LTI 系统，常用二次型 V=x^TPx，并得到 Lyapunov 方程或矩阵不等式。
关键要点
- 连续 LTI 系统中，A Hurwitz 等价于：对任意 Q≻0，都存在 P≻0 满足 A^TP+PA=−Q。
- Lyapunov 方法可推广到非线性系统，而且不需要显式求出系统轨迹。
- 稳定不等于性能好：一个稳定控制器仍可能过慢、振荡大或能耗很高。
6. 可控性
可控性问的是：输入有没有足够的“控制权限”，把状态沿所有独立方向驱动。对 n 维 LTI 系统，构造可控矩阵 𝒞=[B,AB,…,A^{n−1}B]；若 rank(𝒞)=n，则理想线性模型中所有状态方向都可被输入影响。如果某个模态不可控，那么无论怎样设计状态反馈，都无法任意移动该模态的极点。
关键要点
- 可控性是 (A,B) 的结构性质，与具体选择哪个反馈增益无关。
- 可控性不只有“可/不可”的二值问题：理论可控但 Gramian 很差的模态可能需要巨大控制能量。
- 可控 Gramian 可进一步衡量不同状态方向到底有多难驱动。
7. 可观性
可观性是可控性的对偶问题：能否根据一段时间内的输出测量重构内部状态？对 n 维 LTI 系统，构造 𝒪=[C;CA;…;CA^{n−1}]，若 rank(𝒪)=n，则所有状态方向都可被输出推断。尤其危险的是“不可观的非稳定模态”，因为它可能不断发散，但传感器看不出来。
关键要点
- 可观性由系统动态 A 与传感器布局 C 共同决定。
- Detectability 比完全可观更弱：允许存在不可观模态，只要这些模态本身是稳定的。
- 实际估计效果还受噪声和数值条件影响，不能只看 rank 是否满秩。
8. 状态反馈与极点配置
采用状态反馈 u=−Kx 后，闭环动态变为 ẋ=(A−BK)x。若 (A,B) 可控，就可以设计 K 把闭环极点放到希望的位置。极点配置能直接调节衰减速度和振荡特征，但它并没有显式优化控制能量或鲁棒性；把极点放得过快，可能需要不现实的大输入。
关键要点
- 极点配置是先指定希望的动态，再求 K；LQR 则先指定性能代价，由优化结果决定闭环极点。
- 多输入系统中，实现同一组闭环极点的 K 可能并不唯一。
- 执行器饱和会破坏理想线性闭环模型，必须单独考虑饱和和 anti-windup 等问题。
9. LQR：最优状态反馈
线性二次调节器（LQR）通过最小化无限时域二次代价来自动选择状态反馈。Q 惩罚不希望出现的状态偏差，R 惩罚控制能耗。连续时间中求解代数 Riccati 方程得到 P，再计算 K=R^{-1}B^TP。在 stabilizable/detectable 等条件下，得到的反馈能够稳定系统，并以优化方式平衡“状态收敛快”和“控制不能太大”。
关键要点
- 提高 Q 中某状态权重通常会更积极抑制该状态，但耦合系统中它与闭环极点并不是一一对应。
- 增大 R 会抑制控制输入，通常使响应更保守、更慢。
- LQR 默认全状态可用；与 Kalman filter 结合并满足相应假设时，就形成经典 LQG。
10. 状态观测器与 Kalman 滤波
当 x 不能直接测量时，状态观测器会在内部运行一份模型预测，并利用输出残差 y−C x̂ 对估计进行纠正。Luenberger observer 使用固定增益 L；Kalman filter 则根据过程噪声协方差 Q_w 和测量噪声协方差 R_v 计算增益，在经典线性高斯假设下得到最小方差线性估计。
关键要点
- 观测器极点配置与控制器极点配置互为对偶；可观性允许任意配置观测误差极点。
- Kalman filter 中，假设过程噪声更大时更信测量；假设测量噪声更大时更信模型。
- 非线性系统中常见 EKF、UKF；更一般的非高斯场景可用 particle filter，但代价更高。
11. 分离原理、参考跟踪与积分作用
对满足条件的线性系统，可以把控制器和观测器分开设计：只要 A−BK 与 A−LC 都稳定，基于状态估计的闭环也可稳定，这就是分离原理。需要注意，稳定到 0 与跟踪非零参考并不是同一问题。为了消除恒定扰动或模型失配导致的稳态误差，常采用参考前馈、状态增广或积分作用。
关键要点
- 积分控制把累计跟踪误差增广为状态，在增广系统可控等条件下可消除恒定稳态误差。
- 前馈根据模型计算维持参考所需的名义输入，反馈再负责纠正偏差。
- “前馈 + 反馈”的思想同样存在于 tracking MPC 中。
12. 一套真正可用的控制系统设计流程
一套可靠流程是：明确状态/输入/输出和工作点 → 推导或辨识模型 → 必要时离散化 → 检查稳定性、可控性、可观性 → 选择 pole placement、LQR 或 MPC 等反馈方法 → 若状态不可测则设计 observer → 在约束、噪声和模型失配下仿真 → 最后才上真实系统并调参。每个理论检查回答的问题不同，不能因为一次仿真“看起来能跑”就跳过。
关键要点
- 先问“系统是否可稳定”，再问“哪个 K 最好”。
- 在假设状态反馈可实现之前，先检查状态是否可观/可检测。
- 若线性系统、二次性能且约束不关键，LQR 往往够用；若显式约束或未来参考信息很重要，MPC 更合适。
这一节要记住
看完这篇后，你应该能面对一组 (A,B,C) 判断和解释稳定性、可控性、可观性，设计基础状态反馈和观测器，并理解 LQR、Kalman filter 与 MPC 在同一控制理论框架中的位置。